Prix des options: modèle Black-Scholes Le modèle Black-Scholes pour le calcul de la prime d'une option a été introduit en 1973 dans un document intitulé La tarification des options et les engagements corporatifs publié dans le Journal of Political Economy. La formule développée par trois économistes Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton est peut-être le modèle d'évaluation des options le plus connu dans le monde. Black a décédé deux ans avant que Scholes et Merton aient reçu le Prix Nobel 1997 d'économie pour leur travail en trouvant une nouvelle méthode pour déterminer la valeur des dérivés (le Prix Nobel n'est pas donné à titre posthume cependant, le comité Nobel a reconnu le rôle des Noirs dans le Noir - Scholes modèle). Le modèle Black-Scholes est utilisé pour calculer le prix théorique des options de vente et d'achat européennes, en ignorant les dividendes versés pendant la durée de vie des options. Bien que le modèle Black-Scholes d'origine n'ait pas tenu compte des effets des dividendes payés pendant la durée de vie de l'option, le modèle peut être adapté pour comptabiliser les dividendes en déterminant la valeur de date ex-dividende de l'action sous-jacente. Le modèle fait certaines hypothèses, y compris: Les options sont européennes et ne peuvent être exercées qu'à l'expiration Aucun dividende n'est payé pendant la durée de l'option Marchés efficaces (c'est-à-dire les mouvements du marché ne peuvent être prévus) Aucune commission Le taux sans risque et la volatilité de Le sous-jacent est connu et constant Suit une distribution lognormale qui est, les rendements sur le sous-jacent sont normalement distribués. La formule présentée à la figure 4 tient compte des variables suivantes: Prix sous-jacent actuel Prix d'exercice des options Durée jusqu'à l'expiration, exprimée en pourcentage de l'année Volatilité implicite Taux d'intérêt sans risque Figure 4: Formule de tarification Black-Scholes Options. Le modèle est essentiellement divisé en deux parties: la première partie, SN (d1). Multiplie le prix par la variation de la prime d'appel par rapport à une variation du prix sous-jacent. Cette partie de la formule montre le bénéfice attendu de l'achat du sous-jacent pur. La seconde partie, N (d2) Ke (-rt). Fournit la valeur actuelle du paiement du prix d'exercice à l'expiration (rappelez-vous, le modèle de Black-Scholes s'applique aux options européennes qui ne peuvent être exercées que le jour d'expiration). La valeur de l'option est calculée en prenant la différence entre les deux parties, comme indiqué dans l'équation. Les mathématiques impliquées dans la formule sont compliquées et peuvent être intimidantes. Heureusement, cependant, les commerçants et les investisseurs n'ont pas besoin de savoir ou même de comprendre les mathématiques pour appliquer la modélisation Black-Scholes dans leurs propres stratégies. Comme mentionné précédemment, les opérateurs d'options ont accès à une variété de calculatrices d'options en ligne et de nombreuses plates-formes de négociation d'aujourd'hui disposent d'outils robustes d'analyse des options, y compris les indicateurs et les feuilles de calcul qui effectuent les calculs et les options de prix des options. Un exemple d'un calculateur Black-Scholes en ligne est montré à la Figure 5, l'utilisateur doit saisir toutes les cinq variables (prix d'exercice, prix de l'action, temps (jours), volatilité et taux d'intérêt sans risque). Figure 5: Une calculatrice Black-Scholes en ligne peut être utilisée pour obtenir des valeurs pour les appels et les mises. Les utilisateurs doivent entrer les champs obligatoires et la calculatrice fait le reste. Les entreprises doivent utiliser un modèle d'évaluation des options afin de dépenser la juste valeur de leurs options d'achat d'actions pour les employés (ESO). Nous montrons ici comment les entreprises produisent ces estimations en vertu des règles en vigueur en avril 2004. Une option a une valeur minimale Lorsqu'elle est accordée, un ESO typique a une valeur temporelle mais aucune valeur intrinsèque. Mais l'option vaut plus que rien. La valeur minimale est le prix minimum que quelqu'un serait prêt à payer pour l'option. C'est la valeur préconisée par deux projets de loi (les projets de loi du Congrès Enzi-Reid et Baker-Eshoo). C'est aussi la valeur que les entreprises privées peuvent utiliser pour évaluer leurs subventions. Si vous utilisez zéro comme entrée de volatilité dans le modèle Black-Scholes, vous obtenez la valeur minimale. Les sociétés privées peuvent utiliser la valeur minimale parce qu'elles n'ont pas d'antécédents commerciaux, ce qui rend difficile la mesure de la volatilité. Législateurs comme la valeur minimale parce qu'il supprime la volatilité - une source de grande controverse - de l'équation. La communauté high-tech en particulier tente de saper les Black-Scholes en faisant valoir que la volatilité n'est pas fiable. Malheureusement, la suppression de la volatilité crée des comparaisons injustes car elle élimine tout risque. Par exemple, une option 50 sur le stock Wal-Mart a la même valeur minimale qu'une option 50 sur un stock de haute technologie. La valeur minimale suppose que le stock doit croître d'au moins le taux sans risque (par exemple, le rendement du Trésor à cinq ou dix ans). Nous illustrons l'idée ci-dessous en examinant une option de 30 avec un terme de 10 ans et un taux de 5 sans risque (et sans dividendes): Vous pouvez voir que le modèle de valeur minimale fait trois choses: (1) augmente le stock à Le taux sans risque pour la durée totale, (2) suppose un exercice et (3) les escomptes du gain futur à la valeur actuelle avec le même taux sans risque. Calcul de la valeur minimale Si nous nous attendons à ce qu'un titre obtienne au moins un rendement sans risque selon la méthode de la valeur minimale, les dividendes réduisent la valeur de l'option (puisque le détenteur d'options renonce aux dividendes). Autrement dit, si nous supposons un taux sans risque pour le rendement total, mais certaines des fuites de retour aux dividendes, l'appréciation du prix attendu sera plus faible. Le modèle reflète cette plus faible appréciation en réduisant le cours des actions. Dans les deux expositions ci-dessous, nous dérivons la formule de la valeur minimale. Le premier montre comment nous arrivons à une valeur minimale pour un stock sans dividendes, le second substitue un prix boursier réduit dans la même équation pour refléter l'effet de réduction des dividendes. Voici la formule de la valeur minimale pour un stock de dividendes: e prix de l'action e Eulers constant (2,718) d rendement de dividende t option terme k exercice (grève) prix r taux sans risque Ne vous inquiétez pas de la constante e (2,718) Juste un moyen de composer et de réduction en continu au lieu de composition à intervalles annuels. Black-Scholes Volatilité des valeurs minimales Nous pouvons comprendre que Black-Scholes est égal à la valeur minimale des options plus la valeur additionnelle pour la volatilité des options: plus la volatilité est grande, plus la valeur additionnelle est importante. Graphiquement, nous pouvons voir la valeur minimale comme une fonction ascendante du terme d'option. La volatilité est un plus sur la ligne de valeur minimale. Ceux qui sont mathématiquement inclinés peuvent préférer comprendre le Black-Scholes en prenant la formule de valeur minimale que nous avons déjà examinée et en ajoutant deux facteurs de volatilité (N1 et N2). Ensemble, ils augmentent la valeur en fonction du degré de volatilité. Black-Scholes doit être ajusté pour les ESO Black-Scholes estime la juste valeur d'une option. Il s'agit d'un modèle théorique qui établit plusieurs hypothèses, y compris la capacité de négociation totale de l'option (c'est-à-dire la mesure dans laquelle l'option peut être exercée ou vendue aux porteurs d'options) et une volatilité constante pendant toute la durée de vie des options. Si les hypothèses sont correctes, le modèle est une preuve mathématique et sa sortie de prix doit être correcte. Mais à proprement parler, les hypothèses ne sont probablement pas correctes. Par exemple, il exige des cours des actions de se déplacer dans un chemin appelé le mouvement brownien - une marche aléatoire fascinante qui est effectivement observée dans les particules microscopiques. Beaucoup d'études contestent que les stocks ne bougent que de cette façon. D'autres pensent que le mouvement brownien est suffisamment proche, et considèrent le Black-Scholes comme une estimation imprécise mais utilisable. Dans le cas des options négociées à court terme, le Black-Scholes a connu un grand succès dans de nombreux tests empiriques qui comparent sa production de prix aux prix du marché observés. Il existe trois différences majeures entre les OEN et les options négociées à court terme (qui sont résumées dans le tableau ci-dessous). Techniquement, chacune de ces différences viole une hypothèse de Black-Scholes - un fait envisagé par les règles comptables du FAS 123. Il s'agit de deux ajustements ou corrections à la sortie naturelle des modèles, mais la troisième différence - que la volatilité ne peut pas rester constante sur la durée exceptionnellement longue Vie d'un ESO - n'a pas été abordée. Voici les trois différences et les correctifs d'évaluation proposés proposés dans FAS 123 qui sont toujours en vigueur à partir de mars 2004. Le correctif le plus important en vertu des règles actuelles est que les entreprises peuvent utiliser la durée de vie prévue dans le modèle au lieu du terme réel. Il est typique pour une entreprise d'utiliser une durée de vie prévue de quatre à six ans pour évaluer les options avec des termes de 10 ans. Il s'agit d'une difficulté maladroite - un band-aid, vraiment - puisque Black-Scholes exige le terme réel. Mais le FASB recherchait un moyen quasi objectif de réduire la valeur de l'ESO puisqu'il n'est pas échangé (c'est-à-dire, pour réduire la valeur de l'ESO pour son manque de liquidité). Conclusion - Effets pratiques Le Black-Scholes est sensible à plusieurs variables, mais si nous supposons une option de 10 ans sur un stock de dividendes et un taux sans risque de 5, la valeur minimale (sans aucune volatilité) nous donne 30 Du cours de l'action. Si nous ajoutons la volatilité attendue de, disons, 50, la valeur de l'option double à presque 60 du prix des actions. Donc, pour cette option particulière, Black-Scholes nous donne 60 du prix des actions. Mais lorsqu'elle est appliquée à un ESO, une entreprise peut réduire les effectifs réels de 10 ans pour une durée de vie plus courte. Pour l'exemple ci-dessus, réduire le terme de 10 ans à une durée de vie prévue de cinq ans ramène la valeur à environ 45 de la valeur nominale (et une réduction d'au moins 10-20 est typique lorsque l'on réduit le terme à la durée de vie prévue). Enfin, l'entreprise obtient de prendre une réduction de coupe de cheveux en prévision de confiscations en raison du roulement des employés. A cet égard, une autre coupe de cheveux de 5 à 15 serait courante. Ainsi, dans notre exemple, les 45 seraient encore réduits à une charge de frais d'environ 30-40 du cours des actions. Après avoir ajouté la volatilité et ensuite la soustraction pour une durée de vie utile réduite et des déchéances prévues, nous sommes presque de retour à la valeur minimale ESOs: Utilisation de la calculatrice de Black-Scholes Calculatrice Black-Scholes Cette calculatrice en ligne utilise l'équation de Black-Scholes pour la juste valeur d'un Option d'achat européenne sur un actionnaire sans dividendes, comme suit: Une option d'achat européenne ne peut être exercée qu'à sa date d'expiration. Cela contraste avec les options américaines qui peuvent être exercées à tout moment avant l'expiration. Une option européenne est utilisée pour réduire les variables dans l'équation. Ceci est acceptable, puisque la plupart des options d'achat d'actions des sociétés américaines ne sont exercées que jusqu'à leur date d'expiration (acquisition). Pourquoi Lorsqu'un employé exerce un appel tôt, il perd la valeur de temps restant sur l'appel et collecte uniquement la valeur intrinsèque. Avertissement: Cette calculatrice Black-Scholes n'est pas destinée à servir de base aux décisions commerciales. Aucune responsabilité de quelque nature que ce soit n'est assumée pour son exactitude ou son adéquation à un but donné. À utiliser à vos risques et périls. Pour en savoir plus sur la façon d'utiliser la méthode Black-Scholes pour mettre une valeur sur les options d'achat d'actions, veuillez consulter le cours en ligne ERI Distance Learning Center Black-Scholes Valuations. Définitions Black Scholes Définitions (toutes les valeurs sont par action) Le Black Scholes Option Pricing Model détermine la juste valeur marchande des options européennes mais peut également être utilisé pour évaluer les options américaines. La formule actuelle peut être consultée ici. Stock Prix de l'action A Prix actuel des actions, cotées en bourse ou estimées. Option Prix d'exercice Prix prédéterminé (par l'auteur de l'option) à laquelle un stock d'options est acheté ou vendu. Échéance (Durée jusqu'à l'expiration) Temps restant à la date d'expiration de l'option. Taux d'intérêt sans risque Taux d'intérêt courant des obligations d'État à court terme telles que les bons du Trésor américain. Degré de variation imprévisible dans le temps d'un cours des options exprimé souvent comme l'écart-type du cours de l'action. US juste valeur marchande d'une option exercée à l'expiration. Une option d'achat donne à l'acheteur (le titulaire de l'option) le droit d'acheter des actions auprès du vendeur (l'écrivain d'options) au prix d'exercice. US juste valeur marchande d'une option exercée à l'expiration. Une option de vente donne à l'acheteur (le titulaire de l'option) le droit de vendre les actions achetées à l'auteur de l'option au prix d'exercice. Une option européenne ne peut être exercée qu'à la date d'expiration. Une option américaine peut être exercée à tout moment pendant la durée de vie de l'option. Cependant, dans la plupart des cas, il est acceptable d'évaluer une option américaine en utilisant le modèle Black Scholes parce que les options américaines sont rarement exercées avant la date d'expiration.
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